はむ。日記

離散数学とか解析学とかアニメについてつぶやきます。

Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式

関数解析

急にSobolev空間の記事を書きたくなりました。主な参考文献はEvansのPDEと儀我儀我非線形偏微分方程式です。

 [定理](一般化ヤングの不等式)

1\lt p,\  q,\  r\lt \infty が \frac{1}{q}=\frac{1}{p}+\frac{1}{r}-1 を満たすとする. このとき

\|f*g\|_{L^{q}(\mathbb{R}^{n})} \le C_{p,q}|g|_{r,\ \infty}\|f\|_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})},\ \ \ g\in L^{r,\ \infty}(\mathbb{R}^{n}),\ f\in L^{p}(\mathbb{R}^{n})

が成り立つ.

 

L^{r,\ \infty} は弱L^{r}空間(またはローレンツ空間)といいます. これについての詳細は今後ブログで書きます. この一般化ヤングの不等式を示すにはMarcinkiewiczの補間定理などが必要になりますがここでは上記の不等式を認めます.

 

[定理](Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式)

0\lt \alpha \lt n とする.  p,\ q が

1\lt p,\ q\lt \infty かつ \frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{\alpha}{n}

を満たすとする. このとき, 任意の f\in C_{0}(\mathbb{R}^{n}) に対して,

\|I_{\alpha}[f] \|_{L^{q}(\mathbb{R}^{n})} \le C_{\alpha,\ p,\ n}\|f\|_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})}

 が成り立つ.

 

ここで \displaystyle I_{\alpha}[f]=\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{f(y)}{|x-y|^{n-\alpha}}dy であり, これを f のRieszポテンシャルといいます. ポアソン方程式を勉強するとこいつがよく出てきます.

 

[証明]

|x|^{-n+\alpha}\in L^{\frac{n}{n-\alpha},\ \infty}(\mathbb{R}^{n}) であるので, 一般化Youngの不等式より 1\lt p,\ q\lt \infty かつ \frac{1}{q}=\frac{1}{p}+\frac{n-\alpha}{n}-1=\frac{1}{p}-\frac{\alpha}{n} に対して

\|I_{\alpha}[f] \|_{L^{q}(\mathbb{R}^{n})} \le C\||x|^{-n+\alpha}\|_{L^{\frac{n}{n-\alpha}, \infty}(\mathbb{R}^{n})}\|f\|_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})}= C_{\alpha,\ p,\ n}\|f\|_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})}    ///