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[定義] 空間 [定理] (Poincaéの不等式) を有界開集合, とする. このとき, . (証明) なので を の外で0として 全体に拡張したものを とおく. であることに注意する. Sobolevの不等式より となる. ここで前回の記事と同様の議論により として togedemaru419.ha…

前回は拡張定理の記事を書きました. 拡張定理とSobolevの不等式を使うとソボレフ空間 と 空間の関係がわかります. [定理] (Estimates for ) は有界開集合で境界 は 級であると仮定する. とする. このとき であり, にのみ依存する正の定数が存在し, が成り立…

前回のブログではSobolevの不等式を示しました. しかし関数の定義域が全空間であるため, 定義域が全空間でない場合だと使えません. そこでソボレフ関数の定義域を全空間に拡張し, Sobolevの不等式を適用することを考えます. それが以下の拡張定理です. ただ…

前回の記事ではHardy-Littlewood-Sobolevの不等式を示しました. 今回は前回の不等式とポアソン方程式のよく知られた事実を使ってSobolevの不等式というものを証明していきたいと思います. Sobolevの不等式はSobolev空間と空間やヘルダー空間の包含関係を把握…

急にSobolev空間の記事を書きたくなりました。主な参考文献はEvansのPDEと儀我儀我非線形偏微分方程式です。 [定理](一般化ヤングの不等式) が を満たすとする. このとき が成り立つ. は弱空間(またはローレンツ空間)といいます. これについての詳細は今後ブ…