Sobolevの不等式 - はむ。日記

前回の記事ではHardy-Littlewood-Sobolevの不等式を示しました. 今回は前回の不等式とポアソン方程式のよく知られた事実を使ってSobolevの不等式というものを証明していきたいと思います. Sobolevの不等式はSobolev空間と $L^{p}$ 空間やヘルダー空間の包含関係を把握するのに必要な不等式です.

[定義] (Newtonポテンシャル)

$n=2$ のとき

$\Phi(x) = -\frac{1}{2\pi} \log |x|$ ,

$n \ge 3$ のとき

$\Phi(x) = \frac{1}{(n-2)|\partial B_{1}(0)|}|x|^{2-n}$

とおく. $\Phi：\mathbb{R}^{n}\setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ をNewtonポテンシャルといい, 原点以外で $\Delta \Phi =0$ を満たす ( $|\partial B_{1}(0)|$ は単位球面の面積である).

[定理] (Sobolevの不等式)

$1\le p \lt n$ とする. 実数 $p^{*}$ を $\frac{1}{p^{*}}=\frac{1}{p}-\frac{1}{n}$ で定める. このとき,

$\exists C_{p,\ n}\gt 0\ \ \text{s.t.}\ \ \forall u \in C_{0}^{1}(\mathbb{R}^{n}),\ \|u\|_{L^{p^{*}}(\mathbb{R}^{n})}\le C_{p, n}\|\nabla u\|_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})}$

が成り立つ.

[証明]

Case1：　 $p\gt 1$ .

$w(x) = \int_{\mathbb{R}^{n}} \Phi(x-y)u(y)dy$

とおく (ただし $\Phi$ はNewtonポテンシャルである). 次の事実を使う.

[事実]：ポアソン方程式の古典解の存在

$n\ge 2$ とする. 任意の $f\in C_{0}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ に対して,

$w(x) = \int_{\mathbb{R}^{n}} \Phi(x-y)f(y)dy$

は $C^{2}$ 級で, $-\Delta w = f$ を満たす.

この事実と積分記号下の微分定理[非線形偏微分方程式, 共立出版]により

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となる. ここでNewtonポテンシャルの評価で

$|\nabla \Phi(x)|\le \frac{C}{|x|^{n-1}}$

が成り立つので, コーシーシュワルツの不等式とRieszポテンシャル $I_{1}$ を用いて

$\displaystyle |u(x)|\le \int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{C}{|x-y|^{n-1}}|\nabla u(y)|dy=C I_{1}[|\nabla u|]$

が成り立つ. ここでHardy-Littlewood-Sobolevの不等式を用いると,

togedemaru419.hatenablog.com

$\|u\|_{L^{p^{*}}(\mathbb{R}^{n})}\le C\|I_{1}[|\nabla u|]\|_{L^{p^{*}}(\mathbb{R}^{n})}\le C\|\nabla u\|_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})}$

が成り立つ.　　( $p\gt 1$ の場合の証明終)

Case2：　 $p=1$ .

各 $j=1,\, \ldots ,\, n$ について

$\displaystyle u(x) = \int_{-\infty}^{x_{j}}\partial_{x_{j}}u(x_{1},\ \ldots,\ x_{j-1},\ y_{j},\ x_{j+1},\ \ldots,\ x_{n})dy_{j}$

となるので,

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最後の行で一般化ヘルダーの不等式を用いた. 次に $x_{2}$ について積分すると

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となる. 以下同様に $x_{3},\ \ldots,\ x_{n}$ について積分していくと

$\displaystyle \int_{\mathbb{R}^{n}}|u(x)|^{\frac{n}{n-1}}dx \le \prod_{j=1}^{n}\left( \int_{\mathbb{R}^{n}}|\partial_{x_{j}}u(x)|dx\right)^{\frac{1}{n-1}}$

となる. ここで両辺を $\frac{n-1}{n}$ 乗すると

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となる. 上から2行目の不等式は相加平均・相乗平均の不等式, 最後の行の不等式は和をベクトルの内積とみてコーシーシュワルツの不等式を用いた. 　(証明終)