はむ。日記

離散数学とか解析学とかアニメについてつぶやきます。

Ascoli-Arzeràの定理

次回からソボレフ空間のコンパクト性定理の話をしたいので, その準備としてAscoli-Arzeràの定理を紹介します.

 

[定理] (Ascoli-Arzeràの定理)

 M をコンパクトHausdorff空間とし, KM 上の連続関数空間 C(M) の部分集合とする. このとき KC(M) で相対コンパクトであることと, KC(M)有界かつ同程度連続であることは同値である.

 

まず用語の確認をしましょう.

[定義] 相対コンパクト

距離空間 X の部分集合 K が相対コンパクトであるとは, K の閉包がコンパクトであることをいう.

距離空間ではコンパクト性と点列コンパクト性が同値になるので, 上記は

K の任意の点列が X で収束部分列をもつ

と言い換えられます. また Xが完備距離空間の場合, K が相対コンパクト性であることと全有界であることが同値になります.

 

[定義] 同程度連続

K\subset C(M) が同程度連続であるとは

\displaystyle \forall z\in M,\ \lim_{y\rightarrow z}\sup_{h\in K}|h(y)-h(z)|=0

を満たすときをいう. 

 

証明は今後pdfでうpするかもしれませんが, やる気がないので今はやりません. 儀我非線形偏微分方程式とか宮島ソボレフとかに証明が載っています. 対角線論法による証明が多いですが, 完備距離空間の場合, 相対コンパクトが全有界と同値であることを用いると証明が簡単になります. コンパクト性を示す際には全有界性を示すと見通しが良くなる的なことを講義で聞いた気がします.